傅里叶级数
三角函数形式
\[f(t)=a_0+\sum_{n=1}^{\infty}[a_n\cos(n\omega_0 t) + b_n\sin(n\omega_0t)]\]其中
\[a_0=\dfrac{1}{T_0}\int_{t_0}^{t_0+T_0}f(t)dt\] \[a_n=\dfrac{2}{T_0}\int_{t_0}^{t_0+T_0}f(t)\cos(n\omega_0 t)dt\] \[b_n=\dfrac{2}{T_0}\int_{t_0}^{t_0+T_0}f(t)\sin(n\omega_0 t)dt\]指数形式
\[f(t)=\sum_{n=-\infty}^{+\infty}F_ne^{jn\omega_1 t}\]其中
\[F_n=\dfrac{1}{T_1}\int_{t_0}^{t_0+T_1}f(t)e^{-jn\omega_{1}t}dt\]傅里叶变换
\[F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt=\mathscr{F}[f(t)]\]反变换
\[f(t)=\dfrac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty}F(\omega)e^{j\omega t}d\omega =\mathscr{F}^{-1}[F(\omega)]\]典型信号的傅里叶变换
门函数 $E[u(t+\dfrac{\tau}2)-t(t-\dfrac{\tau}2)]$
单边指数 $Ee^{-\alpha t}u(t)$
\[F(\omega)=\dfrac{E}{\alpha+j\omega}\]直流 $E$
\[F(\omega)=2\pi E \delta(\omega)\]冲激信号 $\delta(t)$
\[F(\omega)=1\]符号函数 $\text{sgn}(t)$
\[F(\omega)=\dfrac{2}{j\omega}\]阶跃函数 $u(t)$
\[F(\omega)=\pi\delta(\omega)+\dfrac 1 {j\omega}\]倒数信号 $\dfrac 1 t$
\[F(\omega)=-j\pi\text{sgn}(\omega)\]冲击偶信号 $\delta’(t)$
\[F(\omega)=j\omega\]余弦信号 $cos(\omega_0t)$
\[F(\omega)=\pi\left[\delta(\omega+\omega_0)+\delta(\omega-\omega_0)\right]\]正弦信号 $sin(\omega_0t)$
\[F(\omega)=\pi e^{-\frac \pi 2j}\delta(\omega-\omega_0)+\pi e^{\frac \pi 2j}\delta(\omega+\omega_0)\]单位冲激序列
\(\delta_T(t)=\dfrac 1{T_0}\sum_{n=-\infty}^{\infty}e^{jn\omega_0t}\)
一般周期信号的傅里叶变换
周期信号可以表示为傅里叶级数形式
\[f_T(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}F_ne^{jn\omega_0t}\]其傅里叶变换为
\[F_T(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \cdot 2\pi \delta(\omega-n\omega_0)=2\pi\sum_{n=-\infty}^{\infty} F_n \cdot \delta(\omega-n\omega_0)\]傅里叶变换的基本性质
线性
\[\mathscr{F}[af_1(t)+bf_2(t)]=aF_1(\omega)+bF_2(\omega)\]对称性
若 $\mathscr{F}[f(t)]=F(\omega)$，则 $\mathscr{F}[F(t)]=2\pi f(-\omega)$
奇偶虚实性
\[F(\omega)=|F(\omega)|e^{j\phi(\omega)}=R(\omega)+jX(\omega)\]$R(x)=\mathscr{F}[f_e(t)]=2\int_0^{\infty}f_e(t) \cos(\omega t)dt$： 关于 $\omega$ 的偶函数
$X(\omega)=\mathscr F[f_o(t)]=-2\int_0^{\infty}f_o(t)\sin(\omega t)dt$：关于 $\omega$ 的奇函数
\[F(-\omega)=R(-\omega)+jX(-\omega)=R(\omega)-jX(\omega)=F^*(\omega)\]| $f(t)$ | $F(\omega)=\mathscr{F}[f(t)]$ | |
|---|---|---|
| 偶函数，奇分量为0 | 实偶函数 相位 0 或 $\pi$ | $F(\omega)=R(\omega)$ |
| 奇函数，偶分量为 0 | 虚奇函数，相位 $\pm \dfrac \pi 2$ | $F(\omega)=jX(\omega)$ |
尺度变换特性
若 $\mathscr{F}[f(t)] = F(\omega)$, 则 $\mathscr{F}[f(at)]=\dfrac 1 {|a|} F(\dfrac{\omega} a)$ 当 $a=-1$，$f(t) \rightarrow f(-t), F(\omega) \rightarrow F(-\omega)$
时移特性
若 $\mathscr{F}[f(t)] = F(\omega)$, 则 $\mathscr{F}[f(t-t_0)]=F(\omega)e^{-j\omega t_0}$
时移加尺度变换：若 $\mathscr{F}[f(t)] = F(\omega)$, 则 $\mathscr{F}[f(at+b)]=\mathscr{F} {f[a(t+\dfrac b a)]}=\dfrac 1 {\vert a\vert } F(\dfrac{\omega} a)e^{j\omega \frac b a}$
频移特性
若 $\mathscr{F}[f(t)] = F(\omega)$，则 $\mathscr{F}[f(t)e^{j\omega_0 t}]=F(\omega-\omega_0)$
时域微分性质
若 $\mathscr{F}[f(t)] = F(\omega)$， 则 $\mathscr F[f’(t)]=j\omega F(\omega)$
频域微分性质
若 $\mathscr{F}[f(t)] = F(\omega)$，则 $\mathscr F[tf(t)]=j\dfrac{dF(\omega)}{d\omega}$
或 $\mathscr F[-jtf(t)]=\dfrac {dF(\omega)}{d\omega}$
时域积分性质
若 $\mathscr{F}[f(t)] = F(\omega)$，则 $\int_{-\infty}^t f(\tau)d\tau \leftrightarrow F(\omega) \cdot [\dfrac 1 {j \omega} + \pi \delta(\omega)]$
频域积分性质
若 $\mathscr{F}[f(t)] = F(\omega)$，则 $\mathscr F^{-1}[\int_{-\infty}^\omega F(\omega)d\omega]=-\dfrac{f(t)}{jt}+\pi f(0)\delta(t)$
卷积特性
时域卷积定理
若 $\mathscr{F}[f_1(t)]=F_1(\omega)$，$\mathscr{F}[f_2(t)]=F_2(\omega)$，则 $\mathscr{F}[f_1(t) * f_2(t)]=F_1(\omega)F_2(\omega)$
频域卷积定理
若 $\mathscr{F}[f_1(t)]=F_1(\omega)$，$\mathscr{F}[f_2(t)]=F_2(\omega)$，则 $\mathscr{F}[f_1(t)f_2(t)]=\dfrac{1}{2\pi}F_1(\omega)*F_2(\omega)$